De l'avantage des gros scores aux scrutins proportionnels à la plus forte moyenne
Par Oaz » 3 juin 2009, 23:58 - Sicap
Encore un billet sur les élections européennes. Pas pour parler du programme de telle ou telle liste mais pour parler du mode de scrutin : la répartition proportionnelle à la plus forte moyenne, connue aussi sous le nom de méthode d'Hondt.
Contrairement aux scrutins plus ou moins majoritaires que l'on connait dans la plupart des élections françaises, cette méthode distribue les sièges en fonction du nombre de suffrages obtenu par chaque liste en préservant une certaine proportionnalité.
Jusqu'alors, j'avais lu ici ou là que le mode de répartition utilisé favorisait les plus grosses listes mais les personnes qui l'affirmaient ne donnaient généralement pas de preuve, du moins pas celles que j'ai eu l'occasion de lire. Cela a donné lieu à une discussion chez Dagrouik, discussion au cours de laquelle Dedalus a donné quelques éléments sur ce sujet.
A partir de là, j'ai essayé d'exprimer ce fait (la prime donnée aux gros scores) de manière formelle mais néanmoins (je l'espère) compréhensible sans entrer dans des détails trop mathématiques. C'est l'objet de ce billet.
Un rappel tout d'abord : la méthode d'attribution des sièges. Le nombre de suffrage de chaque liste étant connu, on le divise successivement par 1, 2, 3, 4 etc. On obtient ainsi tout un ensemble de moyennes. Les plus fortes moyennes gagnent les sièges.
Dans le cadre des élections européennes, on rajoutera que seules les listes ayant obtenu au moins 5% des suffrages exprimés participent à cette attribution de sièges.
Un exemple. Une circonscription dispose de 10 sièges. Il y a 2834560 votes exprimés. Les résultats de chaque liste et les moyennes correspondantes sont les suivantes :
Les moyennes sur fond coloré sont les 10 plus fortes : elles gagnent les sièges. Cela donne donc 3 siège pour l'UMP, 2 pour le PS, 2 pour le Modem, etc.
Questionnons maintenant ce principe de répartition. Il y a une valeur importante à considérer : le quotient électoral. C'est le nombre de votes exprimés divisé par le nombre de sièges. Toutes les moyennes supérieures à ce quotient électoral ne souffrent d'aucune contestation.
Reprenons notre exemple. Les moyennes sur fond jaune sont supérieures au quotient électoral qui vaut ici 283456.
Les 2 premiers sièges du PS et de l'UMP, ainsi que le premier siège du Modem et des écologistes sont obtenus pour des moyennes de votes par siège supérieures au quotient électoral. Leur attribution est donc proportionnelle au nombre de votes obtenus. Chaque "paquet" de 283456 votes donne un siège.
Après cette attribution, il faut faire un choix pour les autres sièges car aucune liste ne dispose de 283456 votes dans son "reste".
C'est là que la plus forte moyenne entre en jeu.
Si on note
- n, le nombre de suffrage d'une liste
- x, le nombre de sièges déjà obtenus par cette liste
- q, le quotient électoral
- r, le reste de votes pour cette liste
alors on a : n = x.q + r
Pour savoir si le siège suivant revient à la liste, on calcule la moyenne m qu'elle aurait avec un siège de plus :
Or, pour chaque liste, le reste r prend une valeur entière quelconque entre 0 et q (q étant exclu car cela donnerait automatiquement un siège de plus). Donc, pour notre liste, la moyenne varie entre 2 extrêmes :
Soit, en simplifiant :
Pour être tout à fait exact, la moyenne m ne peut pas prendre toutes les valeurs de cet intervalle (elle ne peut prendre que les 283456 valeurs correspondant à une valeur entière pour r) mais sa valeur est aléatoire au sens où aucune valeur de r ne peut être privilégiée par rapport à une autre.
Pour revenir à notre exemple, prenons le cas de l'UMP. x vaut 2 du fait des 2 sièges acquis avec le quotient électoral. Donc la moyenne pour un siège de plus sera comprise entre les deux-tiers de q et q. Donc l'UMP a plus de chances d'obtenir une plus forte moyenne que le PS ou le Modem dont la moyenne pour un siège de plus sera comprise entre la moitié de q et q (et a plus forte raison plus de chances que les autres listes dont la moyenne peut aller jusqu'à zéro).
Essayons d'estimer ces probabilités.
Par exemple, si on prend deux listes X et Y qui ont respectivement 3 et 1 sièges et que l'on représente leurs moyennes respectives par un intervalle sur chacun des axes x et y d'un repère, on obtient le graphe suivant :
q valant 283456, la moyenne de la liste X est comprise entre 3.q/4 = 212592 et q tandis que celle de la liste Y est comprise entre q/2 = 141728 et q.
Le rectangle beige représente l'ensemble des couples possibles parmi les moyennes des listes X et Y (là aussi pour être tout à fait exact, il faudrait prendre des valeurs discrètes et non pas un intervalle continu mais on est dans l'estimation...)
Parmi tous ces couples possibles, ce qui nous intéresse, c'est de savoir pour lesquels la moyenne de la liste X est la plus forte, les autres étant celle où la moyenne de la liste Y l'emporte.
Pour cela, il suffit de tracer la droite d'équation y=x :
Si le couple des moyennes se trouve dans la zone rouge, le siège suivant est attribué à la liste Y tandis que s'il se trouve dans la zone bleue alors c'est la liste X qui prend le siège.
Pour estimer la probabilité de victoire de la liste Y, il suffit donc de calculer l'aire du triangle rouge et de la diviser par celle du rectangle beige.
En notant x le nombre de sièges de la liste X, la largeur du rectangle beige vaut 
Pour la longueur du rectangle, le calcul est similaire en remplaçant x par y,nombre de sièges de la liste Y. Par ailleurs, le triangle rouge est isocèle, on peut donc calculer son aire à partir de la largeur du rectangle.
La probabilité d'une victoire pour le siège suivant de la liste Y face à la liste X est donc d'environ :
A partir de là, on peut estimer une table de probablité de victoire de Y en fonction des nombres de sièges respectifs de X et de Y :
Idem pour les probabilités de victoire de X :
Voilà tout. J'espère avoir été assez clair et ne pas avoir fait trop d'erreurs (qu'il serait sympathique de me signaler en commentaire le cas échéant).